Κυριακή, 10 Ιουνίου 2012

Ευκλείδης (325 - 265 π.κ.χ)


Το όνομα του Ευκλείδη είναι συνώνυμο με την γεωμετρία. Τα «στοιχεία» είναι ένα από τα πιο σημαντικά έργα στην ιστορία των μαθηματικών. Έχουν χρησιμοποιηθεί σαν βάση για την γεωμετρική εκπαίδευση όλης της Δύσης για τα τελευταία 2000 χρόνια.

Δεν υπάρχουν πολλές αναφορές στη ζωή του Ευκλείδη. Δεν ξέρουμε τις ακριβείς ημερομηνίες γέννησης και θανάτου του. Γεννήθηκε περίπου το 325 π.κ.χ. και πέθανε το 265 π.κ.χ.

Αν και υπάρχουν αμφιβολίες λέγεται ότι μαθήτευσε στην ακαδημία του Πλάτωνα και έμεινε εκεί μέχρις ότου ο Πτολεμαίος τον προσκάλεσε να διδάξει στο νέο του πανεπιστήμιο στην Αλεξάνδρεια. Εκεί ο Ευκλείδης ίδρυσε τη μαθηματική σχολή του και έμεινε μέχρι το τέλος της ζωής του. 

Οι μέθοδοι διδασκαλίας του είχαν εμπνευστεί από αυτές του Αρχιμήδη. Είχε τη φήμη ότι ήταν δίκαιος, υπομονετικός, έντιμος και ευγενικός. Παρόλα αυτά ήταν και σαρκαστικός:
Μια ιστορία λέει ότι ένας από τους σπουδαστές του παραπονέθηκε ότι δεν είχε κανένα κέρδος από τα μαθηματικά που μάθαινε. Τότε ο Ευκλείδης κάλεσε γρήγορα στο σκλάβο του για να δώσει στο αγόρι ένα νόμισμα επειδή "έπρεπε να κερδίσει από αυτά που μαθαίνει." 

Μια άλλη ιστορία λέει ότι ο Πτολεμαίος τον ρώτησε εάν υπάρχει κάποιος ευκολότερος τρόπος να μάθει γεωμετρία απ' ό,τι με την εκμάθηση όλων των θεωρημάτων. Ο Ευκλείδης απάντησε ότι «δεν υπάρχει βασιλικός δρόμος στη γεωμετρία» και έστειλε το βασιλιά στη μελέτη. 

Έργα του εκτός από τα στοιχεία
Άλλα έργα του εκτός από τα στοιχεία είναι τα «δεδομένα», τα «τμήματα των αριθμών», τα «φαινόμενα» και τα «οπτικά». Όλα είναι στα αρχαία Ελληνικά εκτός από τα «τμήματα των αριθμών» που έχουν διατηρηθεί μόνο μέρη τους στα Αραβικά. Όλα έχουν την βασική δομή των «στοιχείων» με ορισμούς και αυστηρά αποδεδειγμένες προτάσεις.

Τα «δεδομένα» είναι άμεσα συσχετιζόμενα με τα πρώτα τέσσερα βιβλία από τα στοιχεία καθώς αφορούν ορισμούς, αξιώματα. Τα «τμήματα των αριθμών» αποτελούνται από 36 προτάσεις – υποδείξεις για τον διαχωρισμό διάφορων σχημάτων σε ένα ή δύο ίσα μέρη ή με συγκεκριμένες αναλογίες. Τα φαινόμενα έχουν να κάνουν με τα σφαιρικά σχήματα και έχουν σα σκοπό να εξηγήσουν τις κινήσεις των πλανητών. Τα «οπτικά» είναι το πιο πρόσφατο διασωθείς. Στους ορισμούς του ακολουθεί την Πλατωνική παράδοση που λέει ότι η όραση προέρχεται από ιδιαίτερες ακτίνες που προέρχονται από το μάτι. Σχετίζει το μέγεθος των αντικειμένων με την απόσταση και την γωνία θέασης.

Τα στοιχεία
Στα δεκατρία βιβλία των «Στοιχείων» ο Ευκλείδης παρουσιάζει όλη την στοιχειώδη Ελληνική γεωμετρική γνώση. Περιλαμβάνει θεωρήματα και σύνταξη της επίπεδης και στερεάς γεωμετρίας, μαζί με την θεωρία των αναλογιών, συμμετριών, αριθμών και έναν τύπο γεωμετρικής άλγεβρας. Δεν ήταν ο μόνος που έγραψε στοιχεία γεωμετρίας. Υπήρχαν και άλλοι πριν από αυτόν όπως ο Ιπποκράτης από τη Χίο και άλλοι. Ωστόσο τα έργα του Ευκλείδη αναγνωρίστηκαν γρήγορα ως ανώτερα. Δεν είναι γνωστό κατά πόσο όλα τα θεωρήματα ήταν δικά του. Υπάρχουν επιρροές από τον Θαλή, τον Ιπποκράτη και τον Πυθαγόρα. Παρόλα αυτά η διαμόρφωση των στοιχείων είναι αποκλειστικά δική του.

Κάθε τόμος απαριθμεί διάφορους ορισμούς και αξιώματα που ακολουθούνται από τα θεωρήματα, τα οποία ακολουθούνται από τις αποδείξεις. Κάθε δήλωση αποδείχθηκε, ανεξάρτητα αν είναι προφανής. Ο Ευκλείδης επέλεξε τα αξιώματά του προσεκτικά, επιλέγοντας μόνο τις πιο βασικές και αυτονόητες προτάσεις ως βάση της εργασίας του.

Πριν, οι άλλες σχολές είχαν ένα διαφορετικό σύνολο αξιωμάτων η κάθε μία. Μερικά από τα οποία ήταν πολύ αμφισβητήσιμα. Το έργο αυτό βοήθησε πολύ στο να τυποποιήσει τα ελληνικά μαθηματικά. Όσον αφορά στο περιεχόμενο, κάλυψε την κλίμακα της αρχαίας σκέψης.

Τα θέματα περιλαμβάνουν: το πυθαγορικό θεώρημα, αλγεβρικές ταυτότητες, κύκλοι, εφαπτομένες, επίπεδη γεωμετρία, η θεωρία των αναλογιών, πρωταρχικοί αριθμοί, τέλειοι αριθμοί, ιδιότητες των θετικών ακέραιων αριθμών, των άρρητων αριθμών, των τρισδιάστατων αριθμών, των εγγραμμένων και περιγραμένων αριθμών, της κατασκευής των κανονικών στερεών κ.α.

Ειδικά τα αξιοσημείωτα θέματα περιλαμβάνουν τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο, που χρησιμοποιήθηκαν από τον Αρχιμήδη στην εφεύρεση του ακέραιου υπολογισμού, και της απόδειξης ότι το σύνολο όλων των πρωταρχικών αριθμών είναι άπειρο.

"Τα στοιχεία" μεταφράστηκαν και σε λατινικά και σε Αραβικά και αυτή είναι η πρώτη εργασία για να επιζήσουν, από τις καταστροφές που έγιναν αργότερα, όπως η καταστροφή της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας. Επειδή ήταν μακράν ανώτερο από οτιδήποτε προηγούμενο. Το πρώτο τυπωμένο αντίγραφο βγήκε το 1482 και ήταν το εγχειρίδιο γεωμετρίας τα λογικά θεμέλια από το 1700. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου ο Ευκλείδης ιδιαίτερα σεβαστός και τα «στοιχεία» θεωρήθηκαν μια από τις καλύτερες μαθηματικές εργασίες όλων των χρόνων.

Στα στοιχεία, υπάρχουν ελλιπείς περιοχές που συμπλήρωσαν οι επόμενοι μαθηματικοί. Επιπλέον έχουν βρεθεί κάποιες αμφισβητήσιμες ιδέες. Οι πιο γνωστή είναι αυτά στο πέμπτο αξίωμα του, επίσης γνωστό ως παράλληλο αξίωμα. Η πρόταση δηλώνει ότι για μια ευθεία γραμμή και ένα σημείο έξω από τη γραμμή, υπάρχει μόνο μια γραμμή που περνά μέσω του σημείου παράλληλη στην αρχική γραμμή. Ο Ευκλείδης δεν μπόρεσε να αποδείξει αυτήν την δήλωση και επειδή το χρειαζόταν για τις περαιτέρω αποδείξεις του, το υπέθεσε σαν αληθινό. Οι μελλοντικοί μαθηματικοί δεν μπορούσαν να δεχτούν ότι μια τέτοια δήλωση δεν έχει αποδειχθεί και ξόδεψαν πολλά χρόνια ψάχνοντας την απόδειξη η οποία όμως δεν έχει βρεθεί μέχρι σήμερα.

Εντούτοις, παρά αυτά τα προβλήματα, ο Ευκλείδης κρατά τη διάκριση ως ένα από τα πρώτα πρόσωπα που προσπάθησαν να τυποποιήσουν τα μαθηματικά και τα καθορίσουν επάνω σε ένα ίδρυμα των αποδείξεων. Η εργασία του ενέργησε ως αφετηρία για τις μελλοντικές γενεές

Πηγή: http://biographies.nea-acropoli.gr


Αποφθέγματα – θεωρήματα 

Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί γεωμετρίαν. Δεν υπάρχει βασιλικός [σύντομος] δρόμος για να μάθεις γεωμετρία.

Γραμμή δε μήκος απλατές. Γραμμή είναι μήκος χωρίς πλάτος

Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν. Το σημείο είναι, όχι μηδενικό μερίδιο.

Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα. Τα πέρατα της γραμμής είναι σημεία. 

Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ' ἑαυτῆς σημείοις κεῖται. Ευθεία γραμμή είναι αυτή, η οποία κείται εξίσου ως προς τα σημεία της

Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει. Επιφάνεια είναι ότι έχει μονάχα μήκος και πλάτος

Ἐπιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί. Τα πέρατα της επιφάνειας είναι γραμμές

Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ' ἑαυτῆς εὐθείαις κεῖται. Επίπεδη επιφάνεια είναι αυτή η οποια κείται εξίσου ως προς τις ευθείες της


Blog Widget by LinkWithin

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου